各方高手請進!! - 耶穌說︰「不只原諒人七次，而是七十個七次。」

Question

" 耶穌說︰「不只七次，而是七十個七次。」- 即是話要原諒他人幾多次呢？"

這樣的數學問題是否很面善呢？

但今日我想要大家計的並不是 70 ^ 7 這樣簡單

( 70 ^ 7 等於 8.23543 x 10^12 ) ，而是

70! ^ 7!

where n! = n x ( n-1 ) x ( n-2 ) x .... 2 x 1

無需冩出實數，只找出有幾多個零就可以了。

如果有更離害的，亦請找出第一個位是甚麼數字 ( 0 - 9 )

當然，要有方法及steps.

何方數學高手可以猜透到神原諒人的寛容次數呢 !!

Update:

Good! 你們三個也答得非常之好，不錯不錯。

一下子我也不知如何選擇最佳答案了。

唯有交付投票吧。

Answer 1

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granzohk的兩個回答, 一個正確, 一個有待商確

有多少個零應該是對的

我用他的思路去找68!的第一位數, 發現有錯:

[begin of quote]

let Z = 68!

log 68 + ... + log 2 + log 1 大約等於 96.394457904928465986272471701547

所以, log Z = 96.394457904928465986272471701547

=> Z = 10 ^ 96.394457904928465986272471701547

第一位數字意思是什麼? 如果是 most significant digit 的話就應該是 1

[end of quote]

但小算盤(其實小算盤是很厲害的)告訴我們68! =

2.4800355424368305996009904185692e+96

換告話說, 第一個位是2

一般來說

從Z = 10 ^ X, 不能斷定 Z 的第一個位是1

反例: X = 2.4, Z = 10^2.4 = 251.2...

原因是不能忽略指數的小數點

其實, 如果是 least significant digit, 那就易找了!

a^b mod n = a^(b mod phi(n)) mod n

if a is relatively prime to n, where n is Euler's totient function

phi(10) = phi(2 * 5) = (2-1)(5-1) = 4

e.g. 2^5040 mod 10 = 2^(5040 mod 4) = 2^0 = 1

Every integer can be express as a product of a number of primes

We can first count the number of prime factors in {1, ..., 70}

64 (2^6), we have floor(70/64) = 1 factor

32 (2^5), we have floor(70/32) - 1 (otherwise double count 64) = 1 factor

16 (2^4), we have floor(70/16) - floor(70/32) = 2 factors.

8 (2^3), we have floor(70/8) - floor(70/16) = 4 factors.

similarly, we have 18 factors of 2, and 9 factors of 4

i.e. a maximum y that 70! is divisible by 2^y is

18*1 + 9*2 + 4*3 + 2*4 + 1*5 + 1*6 = 67

similarly, consider 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67...

3: 16

9: 5

27: 2

5: 12

25: 2

7: 9

49: 1

So the last digit of (70!)^5040 is

(2^67 * 3^32 * 5^16 * 7^11 * 11^6 * 13^5 * 17^4 * 19^3 * 23^3 * 29^2 * 31^2 * 37 * 41 * 43 * 47 * 53 * 59 * 61 * 67)^5040 mod 10

= (2^3 * 7^3 * 11^2 * 13 * 19^3 * 23^3 * 29^2 * 31^2 * 37 * 41 * 43 * 47 * 53 * 59 * 61 * 67) mod 10

= 78363605374422 mod 10

= 2

2007-04-02 14:37:08 補充：

雖然pf_kcmk_09112001
已說誤會了但...既然你都說你的答案和我的一樣, 為什麼你會誤會呢? 不明白箇中的誤會我只想指出...我覺得他辨証方法有誤也許答案是 1, 但怎樣辨証呢?

2007-04-02 14:37:26 補充：

yup, 31^2 mod 10 can always be computed by (31 mod 10)^2just want to copy and paste the whole expression to the calculator, instead of simplifying (which may introduce typing error...ok... i admit i am lazy), anyway, windows' calculator is quite powerful =P

Answer 2

Hi, 我是數學低手, 試着回答一下:

Let z = (70!) ** (7!) = (70!) ** 5040

log z = 5040 x log(70!)

= 5040 x [log 70 + log 69 + log 68 + ... + log 2 + log 1]

log 70 + log 69 + log 68 + ... + log 2 + log 1 是可以計到的, 用手計或寫個小 program 計都可以, 計出來是 100.07840503568

所以, log z = 5040 x 100.07840503568 = 504395.1613798272

=> z = 10 ** 504395.1613798272

即是有五十几萬個位了, 第一位數字意思是什麼? 如果是 most significant digit 的話就應該是 1, 如果是 least significant digit 或其他數字, 那就難找了...

我 d 數學畢o左業十年都未用過, 如果有地方錯了, 希望可以指正, 謝謝.

希望可以幫到你.

Eric

2007-03-28 01:59:52 補充：

上面果位朋友好似真係答得好 d 喎! 想問 一下 2^n * 5*n 何解...?

Answer 3

0 只能由 2^n * 5*n 組成，由於 5 較 2 大，只須計算 5 的總數，便能知道 0 的個數：

70 有 14 個 5 的倍數及 2 個 25 的倍數，因此 70! 共有 16 個 0 。

7! = 5040 ，因此 70! ^ 7! 共有 5040 * 16 = 80640 個 0 。

至於第二問，可以用 log 計。如 log 2 = 0.3010, log 20 = 1.3010 ，我們只須理會小數位便可。

由於 log ab = log a + log b ，所以 log 70! ^ 7! = (log 2 + log 3 + .. + log 70) * 5040

= (100.078405) * 5040

= 504395.1614

因此，70! ^ 7! 接近 1.45^504395 。第一個位是 1 。

2007-03-28 00:36:46 補充：

應為 1.45 * 10^504395

2007-03-28 19:41:19 補充：

多謝下面提醒，係 2^m * 5^n ~

2007-04-02 08:00:12 補充：

下面唔識唔好亂講：「所以, log Z = 96.394457904928465986272471701547=> Z = 10 ^ 96.394457904928465986272471701547」只理會小位數：0.3944...log A = 0.3944...A = 2.4797...整數的 96 只代表 10 ^ 96 ，可以直接加在上面。所以 Z = 2.4797 * 10 ^ 96 ，跟你計的一樣～

2007-04-02 08:26:18 補充：

看來我誤會了～不過，也許他是知道的，而沒有寫出來吧～剛巧答案是 1 ……沒法辨証。樓下的 least s.f. 計法也是對的。不過，我會把 31, 37 ...寫成 1, 7 ... 畢竟，十位數以上影響不了個位數。