問一個集合看不懂的表示法 ?

Question

S^1 = xy 平面上的單位圓

但是我書上又寫 S^1 = [0,1] mod 1

這是什麼意思 @@?

Answer 1

Favorite Answer

這與代數有關。The unit circle (單位圓) in R2S1 = {(x,y) ∈ R2 : x2+y2 = 1}can be identified with the unit circle in C,T = {z ∈ C: |z| = 1},which forms a group (群) when endowed with the group operation (群運算) of complex multiplication.The author is further identifying, through an isomorphism (同構), the unit circle with the group[0,1] mod 1,that is, the set [0,1) (or R/Z) with addition modulo 1 as its group operation. This can be established by observing the isomorphismt ↦ e2πitbetween [0,1] mod 1 and T.Hence,S1 ≅ T ≅ [0,1] mod 1where ≅ reads "is isomoprhic to".

Answer 2

我真想哭 ...

誰可以告訴我為什麼動態系統會把實變,線代,機率論,微分幾何,代數,和程式給通通攪在一起嗎

Answer 3

R/Z 是較一般的寫法。

R/Z 不但有群的結構，同時也是光滑流形，且加減為可微運算，故本身是一李群。同樣地，S^1 也是李群。

t ---> exp(2πit)

這個函數不但是 group isomorphism，且本身及其反函數為兩李群間的可微函數，因此，題目中的等號可視為兩者在李群的結構上是一樣的。

Answer 4

問個笨問題?

[0,1] mod 1

是啥?? 閉區間? 還是純粹記號?

沒有看過~~