L
Lv 7
L asked in 科學數學 · 1 decade ago

關於 spectral theory 的問題

我念論文看到的, 好像是代數的東西 @@

但我代數不太行.

先說明一下符號, M 是一個緊緻流形,

f 是一個從 M 映至 M 的 k 次微分同胚 (C^k diffeomorphism, k 大於等於 1),

f^[n] 表 f 的 n 次疊代 , f^[-n] 表 f^-1 的 n 次疊代

Df_p 表示 f 的微分後代 p

TpM 表示 M 在 p 的切空間

想問為什麼 TpM = (Ε^s)_p ⊕ (Ε^u)_p ?

D(f^[n])_p | (Ε^s)_p 我看不懂它中間那一條直的是什麼意思 QQ

∥D(f^[n])_p | (Ε^s)_p∥小於等於 Cr^n 又是怎麼來的 ...

論文的節錄 :

We say that p is a hyperbolic fixed point of f if f(p) = p and if

Df_p has no eigenvalues on the unit circle. According to standard results in spectral

theory, there then exists a splitting of the tangent space

TpM = (Ε^s)_p ⊕ (Ε^u)_p,

where the invariant subspaces (Ε^s)_p and (Ε^u)_p correspond to the spectrum inside and outside the unit circle, respectively. This means that we can find constants r in (0,1) and C 大於 0 such that for all n in N:

∥D(f^[n])_p | (Ε^s)_p∥小於等於 Cr^n

∥D(f^[-n])_p | (Ε^s)_p∥小於等於 Cr^n

for some Riemannian norm ∥.∥on TpM. The subspaces (Ε^s)_p and (Ε^u)_p

are called the stable and unstable subspaces for the fixed point p.

Update:

f^[-n] 應該不是 f^-1 的 n 次疊代

而是 f 的退後疊代 qq

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  • Eric
    Lv 6
    1 decade ago
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    設 V 為一有限維 (finite-dimensional) 線性空間 (linear space),L:V→V 為一線性算子direct sum 直和若 V 之子空間 (subspaces) W1, W2 滿足 W1∩W2 = {0},則稱其和 (sum) W1+W2 = {v1+v2 : v1∈W1, v2∈W2} 為其直和 (direct sum),並寫為 W1⊕W2。invariant subspace 不變子空間若 V 之子空間 W 滿足 L(W) ⊆ W,則稱 W 為一 T-不變子空間 (L-invariant subspace)。eigenspace 特徵空間若 λ 為 L 之特徵值,則其特徵空間 (eigenspace) Eλ = {v∈V: L(v)=λv} 為一不變子空間 (invariant subspace)。spectrum 譜即特徵值集合,Λ = {L 之特徵值 λ} 為 C 之一有限子集。譜半徑 (spectral radius) = maxλ∈Λ |λ|restriction 限制若 W 為 V 之不變子空間 (invariant subspace),則 L限制至 W (the restriction of L to W) 亦為一線性算子; L|W:W→W, w↦L(w)。微分幾何:tangent space 切空間流行 M 在 p 之切空間 (tangent space) TpM 為一有限維線性空間。derivative 導數f:M→N 在 p 之導數 (derivative) 為一線性映射 Dfp:TpM→Tf(p)NRiemannian norm 黎曼範數TpM 上的一種範數 (norm) ‖‧‖回到論文:雙曲不動點 (hyperbolic fixed point) p 的導數 (derivative) Dfp 的特徵值 λ 皆滿足 |λ| ≠ 1,所以 Dfp 的特徵值 Λ = {特徵值 λ} 可以分為兩種:stable eigenvalues 穩定的特徵值inside the unit circle: |λ| < 1

    Λs = {特徵值 λ: |λ| < 1}unstable eigenvalues 不穩定的特徵值outside the unit circle: |λ| > 1

    Λu = {特徵值 λ: |λ| > 1}所以 Λ = Λs∪Λu。定義Εpλ = 特徵值 λ 的特徵空間 (eigenspace)the stable subspace for p (p 的穩定子空間)Εps = ⊕λ∈Λs Εpλ (穩定的特徵空間的直和)the unstable subspace for p (p 的不穩定子空間)Εpu = ⊕λ∈Λu Εpλ (不穩定的特徵空間的直和)很明顯 Εps 和 Εps 都是 TpM 的不變子空間 (invariant subspaces)。線性代數的譜定理 (spectral theorem) 告訴我們TpM = ⊕λ∈Λ Εpλ (所有特徵空間之直和)= (⊕λ∈Λs Εpλ) ⊕ (⊕λ∈Λu Εpλ) (特徵值分類)= Εps ⊕ Εpu。有限維線性空間上的所有範數 (norms) 皆等價,故存在 C > 0 使得‖‧‖ ≤ C‖‧‖Rd Df[n]p | Εps 是 Df[n]p 限制至 Εps Df[-n]p | Εpu 是 Df[-n]p 限制至 Εpu 令 σ = max{maxλ∈Λs |λ|, (minλ∈Λu |λ|)-1} < 1。‖Df[n]p | Εps‖ ≤ C‖Df[n]p | Εps‖Rd ≤ C(‖Dfp | Εps‖Rd)n ≤ C(maxλ∈Λs |λ|)n ≤ Cσn ‖Df[-n]p | Εpu‖ ≤ C‖Df[-n]p | Εpu‖Rd

    ≤ C(‖Dfp | Εpu‖Rd)-n ≤ C(minλ∈Λu |λ|)-n ≤ Cσn

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