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龍之影 asked in 科學數學 · 2 decades ago

錐體體積的算法

講義上說:錐體的積體=底面積*柱高/3我想知道這是怎麼導出來的 不要告訴我是算出來的

Update:

老實說 我是國3生 所以我都看不懂...

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4 Answers

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  • 2 decades ago
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    我的証明是要從微積分下手。

    再來你作一個平行底面的面,和錐體有相交,得到一個較小的錐體。

    令較小的為miner,原本的為major,miner的底面積為a,major的底面積為A。

    則由miner和major相似,miner底面的邊長和major底面的邊長比,等於他們高的比。(令miner的高為h,major的高為H)

    再來因為面積比等於邊長比的平方,所以得到a:A=h²:H²

    因此得到a=Ah²/H²。

    如果把major橫切成很多個小塊,則每一小塊體積為 a(dh),a為該小塊的一個底面面積,dh為很小的高。(視作長方體,雖然有誤差,但在dh無限小的時候,以積分來處理,則這個誤差會趨近於零)

    所以得到V=∫a(dh),由0積到H。

    =∫(Ah²/H²)(dh)

    =A/H²∫h²dh

    =A/H²(h³/3),h的上下限分別為H和0

    =A/H²*(H³/3-0³/3)

    =A/H²*H³/3

    =AH/3

    故得証所有錐體的體積為底面積乘高除以3。V=AH/3

  • 2 decades ago

    你可以先回顧一下三角形面積怎麼推導出來的?

    (先幫三角形找個外接平行四邊形,面積剛好是 2 倍)

    利用類比的辦法,你可以解決三角錐的體積

    (先幫三角錐找個外接三角柱,體積剛好是 3 倍)

    最後,處理任意錐體時,把它分割成一小塊一小塊三角錐再求和,1/3的比例經過極限的過程仍然會被保留,於是

    任意錐體的體積等於其外接柱體體積的 1/3

    完整的說明過程請參看以下網頁:

  • 可以用長方體來切割,自己去切切看,應該可以切成三塊,

    所以錐體體積=(1/3)x底面積x高!

    嚴格的證明,必須微積分:

    考慮y=(r/h)x這個函數繞著x軸旋轉一圈所造成的立體圖形,

    它是一個圓錐,體積是...

    π∫(((r/h)x)的平方)dx(從0到h)=

    (1/3)π(x的三次方)((r/h)的平方)(代上下限)=

    (1/3)πh(r的平方)=(1/3)(πr^2)h=(1/3)x底面積x高.

    2006-04-27 20:35:59 補充:

    y=f(x)繞著x軸旋轉一圈所造成的體積是:π∫[f(x)]^2dx,下限是a,上限是b!

    Source(s): 數學 真理
  • 2 decades ago

    我覺得是一個直角三角形繞y軸的旋轉體所產生出來的體積,你不妨往這個方向想看看...

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