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請問微分極值應用~

1.f(x)=x*lnx , 0<x<∞之最小值

此題我算是:對這函數微分一次,=lnx+x*1/x=lnx+1=0...所以x必需=-1,可是我不知lnx多少=-1…(麻煩附原因)

2.求f(x)=(1+x)^(1/2)+(1-X)^(1/2)之極值

此題我算是可以算出極大值=2但算不出極小值2^(1/2)

我想可能是在分解過程出了問題…對f(x)微一次=(1/(2*(1+x)^1/2))-(1/(2*(1-x)^1/2))

提出1/2發覺0代進=0有極大值2但卻無法得到另一個根…請問何解?

3 Answers

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  • Lv 7
    2 decades ago
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    1. 一次微分後得 1+ln(x), 二次微分得 1/x故二次微分在0<x<∞時恆正, 函數圖形開口向上, 一次微分在 1+ln(x) 在 ln(x)=-1時會是零, 此時 x=e^(-1)=1/e, 即在 x=1/e時一次微分為零, 二次微分為正, 故為最小值發生的地方, 最小值為f(1/e)=(1/e)*ln(1/e)=(1/e)*(-1)=-1/e2. 一次微分時得到有三個critical point在x=0, x=1, x=-1, 為一次微分為0及分母會變成零的兩個點, 這裡你可能漏算了分母為零的部分, 把x=1 及x=-1代入均會得到極小值2^(1/2)

  • 2 decades ago

    critical point 是指"微分不存在"或"微分為零"的點

    我們知道對一函數 , 其所有的相對極大極小值必落在critical point 上 ,

    所以只要找出critical point 就可以知道極值為何

    所以對f(x)=√(1+x)+√(1-X),

    x=0 f'(0)=0 , x= ±1 f'(x)不存在 故 x = 0,±1 皆為critical point

  • 不好意思~第二題我還是不了x=1、-1有臨界點=(1/(2*(1+x)^1/2))-(1/(2*(1-x)^1/2))

    代一進去的話=1/2*1/(2^1/2)-0不等於0…不好意思請問何解…

    2006-03-20 17:40:49 補充:

    原來如此~我不知微分不存在也算是臨界點~謝謝你

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