Anonymous
Anonymous asked in 科學數學 · 1 decade ago

Buffon's needle 的證明

西元1777年,Buffon將一長度是L的針任意投擲在一平面上,平面上畫滿了距離都是 d 的平行線,d>L,他推導出一個結論,「針和平行線相交的機率是 2L/πd」。

請問其證明為何?

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  • 1 decade ago
    Best Answer

    設這些平行線平行x軸

    針PQ投擲後,不失一般性,可假設針的下端為P點,另一端為Q點

    設P到上方水平線距離=y,PQ與夾角x

    其中0<=y<=d , 0<=x<=π

    則樣本空間為{(x,y) | 0<=y<=d , 0<=x<=π},即一矩形,面積dπ

    針與線相交時,Q在P的上方水平線之上

    所以Lsinx>=y

    故針線相交機率為{∫(0~π)Lsinxdx}/dπ(此為幾何機率)

    即{-Lcosπ+Lcos0}/dπ=2L/(dπ)

    q.e.d.

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